Приключения Безумной Математильды

Приключения Безумной Математильды

Льюис Кэрролл не только писал сказки, но и создавал целые математические сборники задач, написанные интригующе и художественно, с увлекательным сюжетом и характерными персонажами.

Есть у писателя целая серия интересных историй-задач, главными действующими лицами которой выступают Безумная Математильда и ее племянница Клара.

Однажды Клара приехала в гости к тетушке, а та повела ее знакомиться с достопримечательностями Лондона. Одной из них стал вокзал Чаринг-Кросс. Безумная Математильда торжественно сообщила юной родственнице, что на днях завершилось строительство веток железной дороги, и теперь поезда могут непрерывно циркулировать по замкнутому маршруту.

Но интерес эксцентричной тетушки вызвало необычное расписание: поезда, идущие в западном направлении, возвращаются на вокзал Чаринг-Кросс через 2 часа после отправления, а поезда, идущие в восточном направлении, проходят весь путь за 3 часа. Но и это еще не все! Составители расписания ухитрились сделать так, что каждые 15 минут с вокзала Чаринг-Кросс в противоположных направлениях отправляются два поезда.

Тут Безумной Математильде пришла в голову идея устроить состязание: они с племянницей сядут на поезда, идущие в противоположных направлениях, и посмотрят, кто из них встретит больше поездов.

При этом тетушка отметила, что считать следует только те поезда, которые встречаются в пути, а поезд, идущий с вокзала Чаринг-Кросс или прибывающий сюда одновременно с поездом, в котором едет племянница или сама Математильда, в счет не идет.

Спустя три часа тетушка и племянница вновь встретились на платформе вокзала Чаринг-Кросс и сравнили подсчеты. Клара проиграла. Но Безумная Математильда поспешила утешить племянницу и предложила слегка изменить правила: начать считать встречные поезда только тогда, когда поезда, в которых они едут, повстречаются. А счет встречных поездов будет продолжаться до тех пор, пока тетушка и племянница не прибудут на вокзал Чаринг-Кросс.

— Уф, как я устала! — вздохнула Клара и тут же радостно встрепенулась: уж теперь-то я непременно выиграю!

Но… выиграла ли она?

Задача 1

Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющиеся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, — через 2.

Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?

Ответ: 19 поездов

Задача 2

Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше, но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретится каждому путешественнику?

Ответ: путешественник, следующий восточным поездом, встретит 12 поездов, его напарник — 8.

Решение

* С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других — 120.

* Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 (оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей (будем называть каждую часть просто единицей).

* Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц.

* Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единицам. Восточный поезд проходит 2/5 этого расстояния, встречный — остальные 3/5, после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления.

* Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит 3/5 этого расстояния, встречный — остальные 2/5, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления.

* Каждая последующая встреча западного поезда с восточными происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи.

* Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его тем самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба.

* При этом в первом случае (задача 1) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, проедет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов.

По мотивам книги Льюиса Кэрролла «История с узелками»

Дата создания: 08.12.2018

Отзывы: