Влюбляем в математику, учим думать и решать непредсказуемые задачи 

Как-то я давал задания по наглядной стереометрии в классах с 1-го по 7-ой практически одновременно, на протяжении трёх дней. Надо было построить сечения куба по трём точкам. Никаких понятий не вводилось, никаких теорем не доказывалось, всё объяснялось «на пальцах» за несколько минут. Результат был выразителен и впечатляющ. Первый класс воспринял предложенное с единодушным восторгом и успел за 45 минут решить 4 задачи (возрастающие по сложности). Во втором классе дело пошло хуже, и далее по ниспадающей; 7-му классу я едва смог за 45 минут объяснить, чего я от них хочу, ни одной задачи мы решить не успели. Напомню, что, согласно действующей программе, стереометрию начинают изучать в 10-м классе, причём сразу на понятийном уровне, что в 10-м классе неизбежно.

НАЧИНАТЬ ИЗУЧАТЬ ТРЁХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО НАДО В ВОЗРАСТЕ 6-7 ЛЕТ, так как именно в эти годы воображение ребёнка наиболее для этого приспособлено. Это могут быть не только задачи по наглядной стереометрии, но и что-то из физики, техники и т.д. Да, на этом этапе работа сможет идти лишь на образном уровне. Но будущей работе на уровне строгих понятий это только поможет.

***

Если при первом знакомстве незнакомой и близкой к среднестатистической аудитории школьников предложить самостоятельно выбрать для работы задачи из разных областей математики – большинство начнут с чего-нибудь геометрического, на долю чего-то, упрощённо говоря, «числового и счетного» останется лишь 20-30% присутствующих учеников.

Следует предпринимать СПЕЦИАЛЬНЫЕ УСИЛИЯ (специальные работы) ДЛЯ ПРИДАНИЯ АЛГЕБРЕ И АРИФМЕТИКЕ НАГЛЯДНОСТИ (ОБРАЗНОСТИ), ибо «по природе» они в этом уступают геометрии, что в эмоциональном плане мешает их восприятию учениками.

***

Человеческая и рабочая РОЛЬ УЧЕНИКА НЕ ДОЛЖНА БЫТЬ ЧИСТО УЧЕНИЧЕСКОЙ – слушатель, исполнитель, задаватель вопросов, решатель предложенных задач. Надо, чтобы уже в первый год ученик побывал и учителем, и экзаменатором, и составителем заданий, и организатором, и стратегом. Всё это, разумеется, в дозах сравнительно небольших и соответствующих его индивидуальному складу характера.

С одной стороны, ученик тем самым начинает чувствовать себя в каком-то смысле на равных с учителями, старшими по возрасту учениками и другими участниками процесса; с другой стороны, побывав «в их шкуре», он лучше понимает и возникающие рабочие/учебные ситуации, и поведение взаимодействующих в них лиц.

Организовать подобный «круговорот ролей» довольно трудно, но всё же вполне реально.

***

Если на уроке физики ученик соберётся решать уравнение X=X2, учитель скажет ему, что оно не имеет решений, так как левая и правая части не могут совпадать по соображениям размерности.

Придя на урок математики, ученик увидит, что учитель со спокойной совестью демонстрирует решение этого же самого уравнения «икс равен икс квадрат» и получает его корни: ноль и единица. И соображения размерности его не смущают.

Два хороших учителя явно противоречат друг другу, но противоречие это с учениками не обсуждают. Хотя в иных случаях они и сами бывают придирчивы к оттенкам смысла, и приучают к придирчивости учеников. В чём же дело? На мой взгляд, в том, что упомянутое противоречие задачи решать не мешает, а для большинства по-настоящему сильных профессионалов учить математике или физике – это значит учить решать задачи.

Вопрос о разрешимости уравнения «икс равен икс квадрат» - это ВОПРОС О ТОМ ГДЕ КОНЧАЕТСЯ ФИЗИКА И НАЧИНАЕТСЯ МАТЕМАТИКА, ЧЕМ ОНИ ОТЛИЧАЮТСЯ ДРУГ ОТ ДРУГА И КАКОЕ МЕСТО ЗАНИМАЮТ СРЕДИ ДРУГИХ НАУК И В ЧЕЛОВЕЧЕСКОМ МИРЕ ВООБЩЕ. Сильные учителя, разумеется, имеют на этот счёт глубокие, точные и чёткие представления, но почти не обсуждают эти вопросы с учениками. Разве что на вступительных лекциях к большим курсам или к большим разделам курса. Но если для будущего математика или физика умение решать задачи действительно стоит на первом месте, то для будущего профессионала в какой-либо другой требующей интеллекта профессии общее представление об «архитектуре» человеческого знания, о взаимодействии его областей – не менее важно.

***

«А зачем мы проходим тригонометрические уравнения? Они нам в жизни пригодятся?»

Бывает, что подобный вопрос задают именно трудолюбивые ученики – не затем, чтобы обосновать собственную лень, а чтобы докопаться до смысла выполняемой ими учебной работы.

Я привык отвечать, что тригонометрические уравнения вам, ребята, после выпускных и вступительных экзаменов, скорее всего, не пригодятся. Кое-кому из математиков – да; кое-кому из физиков – да; в остальных профессиях – почти никому, насколько я могу себе представить.

Но ведь поднимать гантели с уровня пояса на уровень плеч – тоже пустое дело, если не учитывать, что это тренирует мускулатуру, сердечно-сосудистую систему и т.д.

«Изучение тригонометрических уравнений тренирует ваш интеллект», - так я заявлял, внутренне опасаясь: а вдруг кто-нибудь спросит, оптимальный ли это способ тренировки интеллекта? Нет ли лучшего? Но на этот вопрос я ни разу не нарвался.

РЕГУЛЯРНОЕ ЗАДАВАНИЕ ВОПРОСА «ЗАЧЕМ Я ЭТО ДЕЛАЮ?» полезно вообще, а в частности – нередко помогает избежать напрасной траты сил и времени.

***

Это, между прочим, приводит к необходимости ОБСУЖДАТЬ И ИЗУЧАТЬ С УЧЕНИКАМИ ПОСТАНОВКУ (ФОРМУЛИРОВАНИЕ) ЗАДАЧ, наборов и цепочек задач (учебных и исследовательских стратегий).

При формулировании СВОИХ задач возникает принципиально новая ситуация: ученику приходится осуществлять поиск и выбор в бесконечном океане реально существующих возможностей, а не в скомпонованном для него кем-то когда-то заведомо конечном, да и не очень-то, в сущности, многочисленном, списке предложенных задач. Кроме того, основой для принятия решений должен служить не явленный ученику как данность набор критериев поиска и/или выбора, а критерии, создаваемые им самим. Цитируя Маяковского: «Не существует правил написания стихов – поэт тот, кто сам создаёт такие правила». Вторая часть этого постулата не менее важна, чем первая.

При изучении СОЗДАННЫХ ДРУГИМИ наборов задач (вариантов олимпиад, вступительных и выпускных экзаменов и пр.) ученик научается ДОГАДЫВАТЬСЯ, как они были сформулированы и скомпонованы и, между прочим, как была осуществлена ИМИТАЦИЯ СЛОЖНОСТИ, столь характерная для многих задач «повышенного уровня» и столь часто деморализующая начинающих.

В господствующей ныне культуре интеллектуальной работы и обучения я бы выделил такие свойства:

Акцент на одновариантность

Необходимость укладываться в жесткие временные рамки

Стремление всё решить посредством измерений и вычислений – или, как минимум, с непременным использованием их

Не утверждаю, что эти свойства – главные или что они отрицательные. Но: и взятые вместе, и, бывает, каждое в отдельности - они на практике отрицают СОЗЕРЦАНИЕ, не дают состояться ему как таковому, и уж тем более не дают развиться КУЛЬТУРЕ СОЗЕРЦАНИЯ.

Что понимать под созерцанием? Определение давать – не стоит и пытаться, как глупо и бессмысленно давать определение понятию «вкус банана». Упомяну лишь один аспект созерцания – это спокойное (неторопливое) вслушивание в тихие подсказки интуиции. А подсказывать она может разное: решение задачи, саму задачу (постановку задачи), новую цель, оценку чего-либо – всего не перечислить.

В истории науки многие открытия стали результатом созерцания. Более того: зачастую по мнению их авторов, они, эти открытия, и не могли быть получены иным путём.

Хотя созерцание, конечно, не является универсальным инструментом, но совсем от него отказываться было бы странно. А это, к сожалению, случается.

Господствующая культура, безусловно, имеет право на существование, в ней много ценного, разумного и эффективного, у неё на счету множество крупных достижений, порою фантастических. Но её, как и всё на свете, можно расширить, обогатить, расцветить новыми оттенками.

***

«Самое главное – не чему учат и не как учат, а КТО учит», - мне довелось прочесть это высказывание в педагогическом журнале XIX века. К сожалению, ссылки на автора не было.

Что собою представляет учитель как целостная личность – вот важнейший для всего дела обучения вопрос.

Первейшее качество настоящего работника – психологическая и профессиональная самостоятельность, своеобразие, способность рождать и формулировать свои собственные замыслы и горячая приверженность этим замыслам. Поэтому, на мой взгляд, не обязательно, чтобы участники дела были единомышленниками, если причина разномыслия – искренность и наличие своего взгляда на профессию у каждого из них. Люди самостоятельные между собой договорятся и передадут дух самостоятельности ученикам.

Второе качество, о котором хотелось бы здесь сказать – самоотдача в работе. Она хороша в любом деле, но дети и подростки особенно остро, хотя лишь инстинктивно, чувствуют, зачем учитель вошёл в класс – ради них или ради себя? Стремится ли он сэкономить силы или, наоборот, стремится «выложиться» полностью? Что его, в сущности, интересует – математика или они, слушатели? Речь не только о том, что учитель трудолюбив, что он отдаёт энергию, но и о том, кому или чему он эту отдаваемую энергию адресует.

Позволю себе полушутя перефразировать: «Самое главное – не кто учит, а В КАКОЙ КОМПАНИИ УЧЕНИК УЧИТСЯ». Подросток, побывавший в среде таких сверстников, которые ДЫШАТ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫМИ ИНТЕРЕСАМИ, - это практически всегда совсем другой человек, даже если сам он ничего по-настоящему узнать не успел. Одно то, что ученик своими глазами видел, что ТАК БЫВАЕТ – решение какого-нибудь уравнения его товарищи, едучи в троллейбусе, обсуждают не потому, что на носу контрольная, а потому, что это им просто интересно – одно это меняет ученика кардинальным образом.

Между тем, в большинстве школ подобная ученическая среда отсутствует, нормальным считается учиться лишь по обязанности, и это одна из крупных причин, в силу которых нам нужны ВЫЕЗДНЫЕ УЧЕБНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ (за пределы Москвы и Московской области), на которых состав учеников был бы подобран так, что подростки с уже ярко выраженными интеллектуальными интересами составляли бы решительное большинство, а подростки со слабо выраженными таковыми интересами оказались бы в очевидном меньшинстве, и сами сделали бы из этой психологической ситуации свои выводы. Как правило, для них в такой ситуации неожиданно открывается новый и интересный мир, ранее представлявшийся скучным и не заслуживающим внимания.

В общем, позволю себе завершить этот пункт и весь этот текст в жанре тоста: за хорошую компанию! – приглашая тем самым в неё уважаемого читателя.

Петр Вадимович Хмелинский

руководитель Математического центра

      
    Нравится