Влюбляем в математику, учим думать и решать непредсказуемые задачи 

«…Я не знаю, каким образом получается, что вопросы, 

имеющие совсем мало отношения к математике,

скорее разрешаются математиками, чем другими»

Л.Эйлер, из переписки.

 

ВСТУПЛЕНИЕ.

Как Вы думаете, что общего между программой и граммофоном? Внимание! Ответ «оба имеют массу один грамм» неверен. Более того, «нормальный» ответ на этот вопрос существует: вполне разумный и серьезный.

Не правда ли, Вас удивил этот вопрос, тем более, что он был несколько неожиданным или даже странным? Ведь вместо изложения сухой и, вообще говоря, мало что объясняющей по существу, информации, каковой является собственно программа, которую Вы ожидали здесь встретить, Вам задают вопросы, требующие заинтересованного внимания. Объясним: мы собираемся с Вами беседовать, и изложим программу (а, точнее, расскажем о ней) в ходе этой беседы.

И всё же, Вы невольно задумались, хотя бы на мгновение: действительно, что общего? В таком случае принимайте наши поздравления: Вы стали свидетелем рождения интереса. Причем, к тому, что еще минуту назад Вас совершенно не интересовало, и – кто знает! – быть может, рано или поздно Вас посетит идея, ведущая к разгадке. А затем, чего в жизни не бывает, Вам самим придет в голову какой-нибудь подобный вопрос, и Вы уже ради собственного удовольствия будете искать на него ответ. В таком случае, Ваш интерес стал самостоятельным и стабильным, хотя вряд ли Вы при этом поменяли профессию и стали заниматься исключительно поиском внутренних взаимосвязей между совершенно различными на первый взгляд понятиями. Но все-таки Вы стали немножко больше математиком, чем были до этого. А вместе с этим – немножко больше историком, немножко больше географом, немножко больше лингвистом, физиком, философом, биологом – в зависимости от Ваших вопросов и ответов. В общем, стали чуть-чуть более образованным человеком. А потом еще чуть-чуть. И так далее.

Вот и мы хотим, чтобы наши ученики так вот «понемножку» становились все более и более заинтересованными людьми, чтобы мотивом, определяющим их отношение к учебе, стал их личный интерес. Слово «понемножку» взято в кавычки не случайно. Представьте себе, что в Вашем сотовом телефоне последней модели сел аккумулятор, причем именно в тот момент, когда этот телефон Вам совершенно необходим. И вот, вместо того, чтобы воспользоваться головокружительными достижениями прогресса, Вы держите в руках совершенно бесполезный предмет, который жалко выкидывать только потому, что в обозримом будущем Вы надеетесь оказаться рядом с розеткой. Для того, чтобы телефон снова заработал, не надо делать великих открытий, организовывать технологические прорывы. Нужно очень мало: зарядить аккумулятор. И вот в Ваших руках опять – мощный инструмент коммуникации.

А человеческий разум? НЕОБХОДИМЫ, на первый взгляд, сущие пустяки, чтобы он стал «мощным инструментом». Но если этими «пустяками» пренебречь, 11 лет изучения в школе, скажем, математики окажутся (и, к великому сожалению, очень часто оказываются) выброшенными на ветер. Более того, по нашему опыту, внимательного отношения к таким «мелочам» часто бывает ДОСТАТОЧНО для того, чтобы, как говорится, все встало на свои места. Поэтому мы стараемся, чтобы первым делом именно «мелочи» заняли достойное место в сознании наших учеников. Конечно, главное – решить задачу, но непременно с «маленьким условием»: мы учим опираться на собственный здравый смысл и руководствоваться интуицией при решении задач, а только затем «причесывать» решение для соответствия определенному уровню строгости. Мы учим приемам реагирования на трудности при решении задач. Мы учим пользоваться «математическим языком» (да и русским тоже) настолько свободно, насколько необходимо для того, чтобы не чувствовать затруднений в выражении своих мыслей. Мы учим точно и аккуратно выражать свои мысли, формулировать вопросы и даже собственные задачи. Это – важнейшая часть нашей программы. Но в программу нельзя поставить, например, такую тему: «обучение здравому смыслу» или «применение интуиции» или «приемы преодоления трудностей при решении задач всех типов с привлечением собственного интеллекта». Потому, что это – не темы. Это – фон. А темы (какая же программа без тем!)? Вот они.

ИСКУССТВО ЧТЕНИЯ УСЛОВИЙ ЗАДАЧ И ПОДХОДА К ИХ РЕШЕНИЮ.

Как-то осенью за помощью к одному из нас обратилась мама девочки, семиклассницы, с просьбой объяснить, как решать задачу. По ее словам, дочь в конце прошлого учебного года прекрасно справлялась с такого типа задачами, легко составляла к ним уравнения-пропорции, а теперь – ничего не получается. И у мамы не получается тоже, так как раньше мама решала эти задачи, разбираясь в смысле решения, а тут и у нее «из-за этих уравнений все перепуталось». А задача была такая (или примерно такая): «Один человек может выполнить некоторую работу за 30 минут, а другой эту же самую работу – за 20 минут. Сколько времени они потратят на то, чтобы выполнить эту работу вместе?» В общем, не у одного поколения учеников возникали сложности при решении подобного рода задач: помните знаменитых «полтора землекопа» из чудесного мультика «В стране невыученных уроков»? Вы, наверное, удивитесь, но больше ста лет назад трудности при решении таких задач были гораздо меньше. Потому, что решали эти задачки «арифметическими методами», но уже тогда стало распространенным мнение, что «без алгебры тут не обойтись» (за подробностями истории возникновения конфликта этих двух точек зрения отошлем любознательного читателя к рассказу Антона Павловича Чехова «Репетитор» J). Есть несколько способов «арифметического» решения этой задачи. Приведу один из них. Поскольку наши герои теперь трудятся вместе, то они вместе начинают работу и вместе ее заканчивают. Значит, нужно понять, какую работу они могут вместе сделать за одинаковый промежуток времени. Осталось подобрать удобный промежуток времени. Вот сейчас и потребуется некоторая интуиция, хотя, безусловно, без умения считать в уме тут тоже не обойтись. Полагаю, что Вы уже заметили, что удобным промежутком времени является час, то есть 60 минут (о! Вами найдено наименьшее общее кратное чисел 20 и 30 – число 60): первый за это время может сделать две «нормы», а второй – три. Значит, вместе – пять. Но пять «норм» никому не надо, а надо в пять раз меньше. Проще говоря, одну. Значит, и времени у них на это уйдет в пять раз меньше часа, то есть, 12 минут. Все, задача решена. Но такое решение задачи, по нашему опыту, доступно (не только для понимания, а в качестве собственного!!) уже ученику третьего класса, а иногда даже – второго, чего не скажешь об уравнениях. Посмотрите, как сильно усложнило процесс решения задач желание заменить живую сообразительность неоправданной «формулизацией» (от слова «формула»). По сути, это – желание снять с себя ответственность за решение задачи – решить задачу «по формуле». Снять с себя ответственность. Не находите ли, что именно это желание является отправной точкой всех наших бед?

Таким образом, занятия математикой могут послужить для воспитания многих замечательных качеств личности, частенько напрасно утрачиваемых.

УСТНЫЙ СЧЕТ.

Как Вы думаете, насколько легко будет разговаривать с иностранцем, не зная языка и поминутно пользуясь словарем для понимания смысла сказанного или конструирования собственного ответа? Скорее всего, этот процесс будет мучителен обоим даже в случае использования вместо словаря современных электронных устройств-«переводчиков». Так что странно будет звучать утверждение, что для нормальной беседы на иностранном языке вовсе не нужно этот язык знать. Так же странно звучит утверждение, будто для решения каких-либо задач не требуется умения считать, достаточно иметь в кармане калькулятор. Вспоминается история, произошедшая где-то в середине 90-х годов с автором этого текста на рынке. Цены тогда измерялись миллионами. Так вот, продавщица старательно и некоторое время безуспешно складывала на калькуляторе 5 миллионов и 7 миллионов – ей никак не удавалось уследить за количеством набираемых на экране нулей, – а устно посчитать немыслимо: слишком большие числа, немудрено ошибиться! И упорно не хотела верить на слово нетерпеливому покупателю, что получится 12 миллионов…

Умножьте, пожалуйста, в уме, ничего не записывая, 12 на 15. Получилось быстро? Хорошо, а теперь – 76 на 84. Справились? Хорошо. Немного помедленнее, правда? Не беда, лишь бы верно. Ну, а теперь – 974 на 896. Уже трудновато… Но на самом деле, после некоторой тренировки и с этим заданием могут справиться без ошибок практически все! Нам важно, чтобы у ученика возникло ясное ощущение прогресса в исполнении операций и уверенности при их исполнении.

Надо заметить, что большинство проблем с математикой имеет корни в банальном неумении считать. Сначала это – безуспешная борьба с таблицей умножения, затем – с дробями, затем – с отрицательными числами, затем – с корнями, степенью, логарифмами… Но сначала – с таблицей умножения!

А еще устный счет великолепно служит для развития воображения и – одновременно – для четкой организации процесса мышления! Редкое сочетание, не правда ли?

НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Вы, конечно же, замечали, что гораздо легче воспринимать какую-либо информацию, если она представлена с помощью наглядных образов. Задача сама по себе тоже является определенного рода информацией, но другого характера. В подобных случаях применимо выражение «информация к размышлению». Задачи по геометрии занимают среди всех задач особую образовательную роль еще и потому, что они – наглядны. Говорят, что древние греки в качестве фиксации решения геометрической задачи использовали чертеж со всеми необходимыми и достаточными построениями и инструкцией к этому чертежу, содержащей ровно два слова: «Смотри и думай». Вот именно этот навык вдумчивого наблюдения и представляется нам наиболее ценным.

Если сейчас в школе геометрия является чуть ли не главным нелюбимым предметом, то это – трагедия, имеющая много весьма субъективных причин, а вовсе не особенность геометрии. Насколько сложна геометрия для восприятия и освоения детьми младшего школьного возраста? Смогут ли они понять и освоить геометрию? Проще всего ответить на этот вопрос, задав другой: насколько сложен мир для восприятия и освоения новорожденными детьми? Смогут ли они понять и освоить его? И заметить, что геометрия – гораздо проще устроена, чем весь мир, а 7-8-летний ребенок уже сильно отличается от новорожденного. Просто эффективность и успешность обучения определяется деятельностью ребенка. Ребенок видит небо, травку, цветы, радуется солнышку, прячется от дождика, пробует на вкус разные вещи (как съедобные, так и не съедобные): исследует мир, учится всему-всему – и все это в естественном взаимодействии со всем, что он играючи исследует. Трудно себе представить, что было бы, если бы знакомство ребенка с окружающим его миром начиналось с усвоения, скажем, строгого определения понятия «небо», а затем изучения темы «Как сделать первый шаг». На наш взгляд, геометрию надо учиться понимать так же – при непосредственном взаимодействии с ее объектами и понятиями. Совершенно естественно; можно сказать – играючи. Для этой цели замечательно подходят 
- задачи на разрезание заданной фигуры на 2 или 3, или 4 равных фигуры (одинаковой формы и одинакового размера); или на фигуры    с заранее заданными свойствами;
- задачи на клетчатой бумаге (например, построение различных фигур, обладающих заданными свойствами, определение площади фигур);
- задачи на преобразования фигур (параллельный перенос, поворот, симметрия, гомотетия и их комбинации);
- задачи на построение простейших сечений многогранников (куба, пирамиды, призмы).

При решении таких задач происходит освоение операции узнавания пространственных образов, освоение наглядных понятий (представлений) о фигурах и типах фигур (прямые, лучи, отрезки, ломаные, остроугольные, прямоугольные, тупоугольные треугольники, прямоугольники, квадраты, ромбы, параллелограммы и пр.), формируется интуитивное представление об их свойствах. Дети знакомятся с понятием «доказательство», так как возникает необходимость «защищать» свои решения, получают опыт построения логических связей, опыт работы воображения при решении задач в трехмерном пространстве.

Предложим пару простых задач для примера (попробуйте найти наиболее простой способ их решения)?

Задача 1. (Для 2-3 класса) Нарисован квадрат со стороной 2 единицы. Середины сторон этого квадрата являются вершинами нового квадрата. Какова площадь нового квадрата?


 

 

 
   

Задача 2. (Довольно сложная) Нарисовано изображение куба. Выбраны три ребра этого куба так, что никакие два из них не принадлежат одной и той же грани. На каждом из этих ребер, но не на серединах, взято по точке. Через эти три точки проведена плоскость, как-то пересекающая поверхность куба. Как именно? (Проще говоря, надо построить сечение куба плоскостью).


 

 

 
   

ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ И НЕРАВЕНСТВАХ.

Мы вовсе не считаем уравнения в школьном курсе математики вредными, как могло показаться при чтении рассказа об искусстве решения текстовых задач. Мы лишь ратуем за то, чтобы всякий инструмент использовался со смыслом и по назначению. Ведь уравнения (и неравенства) – это на самом деле вполне осмысленные фразы математического языка. Или – остроумные загадки на математическом языке. Или – математические модели каких-нибудь объектов, процессов или явлений, несущие глубокий философский смысл… Главное – научиться правильно их воспринимать и не сводить работу с ними к применению правил типа «при переносе слагаемого из одной части уравнения в другую у него волшебным образом меняется знак» и тому подобных. Тогда работа с уравнениями может доставить настоящее интеллектуальное удовольствие.

Кстати, любознательный читатель, если Вы не являетесь математиком, быть может, Вам захочется поразмышлять над некоторыми вопросами, которые так или иначе могут быть связаны с уравнениями? Например, такими (попробуйте!): ПОЧЕМУ в уравнениях при «переносе» слагаемых «через знак равенства» у этих слагаемых «меняется знак»? ПОЧЕМУ на ноль делить нельзя? ПОЧЕМУ дроби при делении «переворачиваются»?

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА, ТИПЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ.

Существует мнение, будто доказательства – это придумка и прихоть досужих математиков. На самом же деле, каждый из нас в повседневной жизни довольно часто пользуется различными типами доказательств. Приведем несколько примеров доказательств, взятых из разговорной практики. «Видишь, - говорит мама маленькому сыну, - ты решил сделать по-своему, вот и вышла такая ерунда. В следующий раз слушайся». Перед нами типичное доказательство методом приведения к нелепости. Несколько по-другому выглядит доказательство «от противного»: «Если хочешь пойти гулять – сделай уроки. Иначе – не пущу». В данном случае доказывается необходимость условия приготовления уроков для возможности погулять. Предположение противного («иначе») приводит к противоречию с желанием убеждаемого, убеждая его сделать правильный вывод. А вот примеры из устного народного творчества. Прямое доказательство: «Жадность – что река: чем дальше, тем шире». Здесь вторая часть предложения может расцениваться как прямое доказательство утверждения, сформулированного в первой части. Пословица «С ней дела не имей: сорока никогда соловьиных песен не поет» иллюстрирует косвенное доказательство. Несколько особняком стоит доказательство методом математической индукции. Его можно сравнить со спуском с лестницы в полной темноте: если некто уверен, что все ступеньки одинаковые и не обвалились, нащупал ногой первую и понял, как поставить ногу на вторую, чтобы не споткнуться, то он уверенно может пройти все ступеньки, сколько бы их не было.

А вот фраза «Ложись скорее спать, а то Баба Яга заберет» доказательством, вообще говоря, не является. Это – манипуляция, хотя и весьма действенная, как показывает практика.

Конечно, описание типов доказательств весьма условно, и щепетильный математик вправе предъявить массу претензий к чистоте и удачности приведенных иллюстраций. Но, как кажется автору, для принципиального понимания сути вопроса они вполне подходят.

А вот необходимость доказательства того или иного факта иногда осознать довольно непросто. И отличить доказательство от манипуляции (и не допустить последней) в различных ситуациях нашей повседневной жизни тоже задача не из легких. Для этого нужна весьма высокая культура мышления. Эту культуру математические доказательства и воспитывают.

ЧИСЛОВЫЕ ЗАДАЧИ.

Целый пласт задач, который неизменно вызывает интерес – числовые «загадки». Например, в запись 1 1 1 1 вставить знаки действий так, чтобы получающийся результат равнялся бы 22. Такого рода задачи допускают различные усложнения, связанные со скобками, порядком выполнения действий, «передвиганием» цифр и проч. Очень интересными для детей оказываются задачи, связанные с «числовым конструированием»: тут и широко известные «магические квадраты», и конструирование чисел, обладающих определенными свойствами (например, вставить в середину записи числа 24 одну цифру так, чтобы получившееся трехзначное число делилось бы на 14) и так далее. Среди таких задач можно встретить как совсем простые, так и достаточно сложные даже не только для новичков.

«Ладно,- скажете Вы, - все это пусть, но ответ-то знать хочется: что общего-то у граммофона и программы – уже пора сказать!» А мы, вместо того, чтобы с видом превосходства сообщить Вам готовый ответ, зададим еще один вопрос: а почему граммофон называется именно так? И тут у Вас может зародиться сомнение в том, что авторы сами знают ответы на вопросы, которые задают. Что можно сказать на это? Да! Бывает и так. Вообще, авторы много чего не знают или знают очень плохо. Например, греческий язык.

Максим Викторович Козлов,

преподаватель математики школы №87 г. Москвы

      
    Нравится